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、

中学数学教学２００６年第５期

函数ｙ一皖ｚ与ｙ一１０９口ｚ的图像有几个交点

安徽省灵壁中学

侯立刚

（邮编：２３４２００）

ｌ

问题反函数的两个函数图像问的关系可知，当“＞１时ｉ函数ｙ一∥与ｙ＝ｌｏ昏ｚ的图像可以有一个交点（相切）．可以有两个交点（相交），如图

（Ｃ）１或４

（Ｄ）２或３

ｙ

（１）当Ｏ＜ｎ＜１时，函数ｙ一Ⅱ。与ｙ＝１０＆卫的图像交点个数可能为（

（Ａ）ｌ或３

（Ｂ）１或２

）

（２）当ｄ＞１时，函数ｙ＝“”与ｙ＝１０９。．ｒ的图像的交点个数不可能为（

（Ａ）３２

（Ｂ）２

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—，一一

）

（Ｃ）１

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（Ｄ）Ｏ

广夕

困惑

对函数’ｙ＝“１，若设它与ｙ一＿Ｔ的切点为（ｚｏ．弘），

由于课本上给出函数ｊ，＝２７与ｙ—ｌｏｇｚｚ的图像

１

及ｙ—ｌｏｇ去Ｔ与ｙ＝（寺）。的图像，如图

产２ｊ

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所以－ｒ。一志 ．

而Ｔ。一曲一ｎ』。，所以志一ｎ亡，

结合引理２知，ｎ＞ｌ时，ｊ，＝ｎ。与ｙ＝ｌｏ函Ｔ的图

／夕

容易使人认为“＞ｌ时，函数ｙ一矿与ｙ＝ｌｏ甑ｚ的图像没有交点，ｏ＜“＜ｌ时．函数ｙ一“。与ｙ＝

①当ｎ＞ｅ÷时．交点个数为Ｏ；②“＝ｅ÷时，交点个数为１；

③当１＜“＜ｅ÷时，交点个数为２．

１

Ｉｏｇ∥的图像有且只有一个交点．难道此题答案就无法

选择了？参考答案给出ｎ一素时，ｙ一‘素’。与ｙ

２

ｌｏｇ占ｚ的图像除在直线ｙ—ｚ上有一交点外，还有（÷．

（２）当Ｏ＜ｎ＜１时，易知函数ｙ＝‘口‘与Ｊ＝ｌｏ＆Ｔ的图像必有一交点在直线ｙ＝ｚ上，由引理１可知，若

÷）．（÷，÷）两个交点，哒显得很神秘！这个去是怎

么想到的？除此以外还有其它“的值吗？口＞１时两函数图像的交点情况如何判定？为此给出两个引理．

３

Ｍ（ｚ－，ｙ－）（Ｔ．≠ｙ。）是两个图像的另一交点，则Ｎ（了，．ｚ，）也是两个图像的交点，显然直线ＭＮ与直线ｙ—ｚ。垂直，当ｚ－一ｙＩ时，函数ｙ＝ｎ。与ｙ—ｌｏ甑ｚ的图像只有一个交点即（ｚｏ，ｚｏ），此时函数ｙ＝ａ。与ｙ—ｌｏｇ。．Ｔ的

引理

引理ｌ函数ｙ＝，（ｚ）与它反函数ｙ一广１（ｚ）图

图像只有一个交点即（ｚｏ，ｚ。），此时函数ｙ＝ｎ。与ｙ—ｌｏ甑Ｔ的图像在（ｚ。，ｚ。）处的切线斜率都为一１．

设，（ｚ）＝Ⅱ。，ｇ（ｚ）＝ｌｏｇ。ｚ，有

像的交点或者在直线ｙ＝～上，或者关于直线ｙ＝ｚ成

对出现．（证明略）

引理２

如果函数ｙ＝丁（ｚ）是单调增函数，那么ｙ

＝，（ｚ）与它的反函数ｙ＝厂１（．ｚ）的图像的交点必在

…… 此处隐藏0字 ……

直线ｙ—ｚ上．（证明略）

４

』０勘卜ｎ？一１辛ｐ疟…＿志，

协训＝士．一广０。。：一，‘１““

净“２（÷）‘，（（—｝）≈ｏ ０６５９），于是

①当（三）’≤“＜１时，两图像只有一个交点；②当Ｏ＜ｎ＜（土）‘时，两图像有３个交点．

探求

（１）当口＞１时，由ｙ一Ⅱ。，得ｙ７＝ｎ。ｌｎｎ，当ｚ固定时，“越小，ｊ，＋越小，从而ｙ＝ｎ。的图像可以与直线ｊ，一ｚ相切，并且可以与直线ｙ—ｚ有两个交点．由互为