第五章 二项式定理

5.1 二项式定理 定理5.1

令n是一个正整数, 那么对于变量x,y(可以是任意实数)有:

n?n?n????(x+y)n= xn +?? xn -1y +?? xn -2y2+…+?? yn-1+ yn.

?n-1??1??2?即(x+y)n=?k?n?n?n -kk

?? xy ?k?证明：展开(x+y)n=(x+y) (x+y)…(x+y), n项乘积， 应用乘法对加法分配率，

展开一般项：x n-k yk,(若n-k次选择x必然k次选择y)，

?n?合并同类项，k次选择y的方法数??，k=1,2,…,n。

?k?

证明：（方法二，归纳法，自己看）

二项式定理的几个其它形式:

(1) (x+y)n=?k?n?n?n -kk

?? xy?n-k?(2) (x+y)n=?k?n?n?kn-k?? xy ?n-k??n?kn-k?? xy ?k??n?k?? x ?k?(3) (x+y)n=?k?n(4) (1+x)n=?k?n

5.2 Pascal 公式

杨辉三角（看书），总结，公式化，就是Pascal 公式 定理5.2

对于满足1?k?n-1的所有整数k和n, 有

?n??n-1??n-1??+?? ??=??k??k??k-1?证明：（组合分析法）

令S是n元素集合，x是S的任一元素，那么S的k组合的集合X可以分两部分： A：不包含x的k组合； B：包含x的k组合；

?n??n-1??n-1?|X|=|A|+|B|；|X|=??，|A|＝??，|B|＝??。

?k??k-1??k?

证明组合恒等式的3种常用方法： （1） 代数法 （2） 数学归纳法 （3） 组合分析法

5.3 一些有用的恒等式

(1)

?n??n-1?k??=n?? ?k??k-1?证明：（直接验证）

?n???＝ ?k?n?n?1?????

k!(n?k)!k(k?1)!(n?k)!k?k?1?n!n(n?1)!(2)

?n??n??n?n??+??+…+??=2 ?0??1??n?证明：二项式定理，令x=y=1。

(3)

n?n??n??n??n?????-??+??+…+(-1)k ??+…+(-1)n??=0 ?0??1??2??k??n?证明：上式，令x=1，y=－1。

n??n??n????－??+…+（－1）n??=0 ?0??1??n?

?n??n??n???+??+…+ ??+…=2n-1 ?0??2??k??n??n??n???+??+…+??+…=2n-1 ?1??3??k?

(4)

?n??n??n?n-1

1??+2??+…+n??=n2 ?1??2??n?证明：由恒等式（1）

?n??n-1?1×??=n??

?1??0??n??n-1?2×??=n??

?2??1?、、、

相加：1

?n????1?+2

?n????2?+…+n

?n????n?＝

?n-1??n-1??n-1?n(??+??+…+??)=n2n-1

?0??1??n-1?

(5)

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n(n+1) 2n-2=?k?nn??k2?? ?k?(n ? 1)

n??n?n???证明：(1+x)n= ?? +?? x+…+?? xn.

?0??1??n?n??n?n???两边微分：n(1+x)n-1= ?? +2?? x+…+n?? xn-1.

?1??2??n?n??n?n???两边乘x：nx(1+x)n-1= ??x +2?? x2+…+n?? xn.

?1??2??n?两边微分：

??f(x)?g(x)?g(x)?f(x) 公式：（f(x)g(x)）

(nx(1?x))??n(1?x)n?122n?1?n(n?1)(1?x)n?1n?2?

?n??n??n????2x???...?n??x?1??2??n?