二次函数的值域

二次函数的值域

例1 求函数y

解：y x2 x 1的值域。 x2 x 1 (x 1)223 4

3所以，原函数的值域为 4

例2 求函数y x2 2ax 1在区间 -1,1 上的值域。

22解：y x2 2ax 1 (x a) 1 a

程 为a， 函数的对称轴方x

f(1) 2 2a f( 1) 2 2a

（1） 当a<-1时，

由函数的图像可得，此时函数的值域为[2+2a , 2-2a];

（2） 当a>1时，

由函数的图象可得，此时函数的值域为[2-2a , 2+2a]

（3） 当-1<a<1时，

1) 若-1<a<0,

此时2-2a 2 2a，

所以函数的值域为[1 a，2-2a]

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2) 若0 a 1，

此时2 2a 2-2a，

函数的值域为[1 a,2-2a ].

综上所述：当a 1时，函数的值域为[2+2a , 2-2a]; 当 -1<a<0时, 函数的值域为[1 a，2-2a]；

当0 a 1时，函数的值域为[1 a,2-2a ]； 当a 1时，函数的值域为[2-2a , 2+2a]。

例3 求函数y 2222x2 a,a 1 上的值域。 x 1在区间

解: y x2 x 1 (x 1)22 3 4