第二章 时域离散信号和系统 时域离散信号 离散信号和 频域分析 的频域分析学习目标 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质 变换并理解其对称性质 掌握序列的 掌握z变换及其收敛域 变换及其收敛域， 掌握 变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判 断方法 会运用任意方法求z反变换 会运用任意方法求 反变换 理解z变换的主要性质 理解 变换的主要性质 理解z变换与 理解 变换与Laplace/Fourier变换的关系 变换的关系 变换与 掌握离散系统的系统函数和频率响应， 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果、 与差分方程的互求，因果、稳定系统的收敛域 1
时域分析方法 信号与系统的 分析方法 频域分析方法Fourier变换 变换 离散时间信号 Z变换 变换 序列的傅里叶 变换2
Laplace变换 变换 连续时间信号 Fourier变换 变换
§1 序列的傅立叶变换1、定义 频域对 序列的傅立叶变换是从频域 离散时间信号 序列的傅立叶变换是从 频域 对 离散时间 信号 和系统进行分析。 和系统进行分析 。 用 行正交展开。 行正交展开。 相似于 连续时间信号傅立叶变换用 对模拟信号进行展开 模拟信号进行展开 作为基函数对序列进
(1)序列的傅里叶变换的表达式： 序列的傅里叶变换的表达式：
X (e jω ) = FT[x(n)] =
n= ∞
x(n)e jωn ∑
∞
(2)序列的傅里叶变换存在条件： 序列的傅里叶变换存在条件： 若序列x( ) 绝对可和，即满足： 若序列 (n) 绝对可和，即满足：
则序列x(n) 的傅里叶变换 X e jω 存在且连续。 存在且连续。 序列 (3)序列的幅频特性和相频特性： 序列的幅频特性和相频特性：
( )
X (e ) = XR (e ) + jXI (e ) =| X (e ) | e幅频特性或幅度 谱
jω
jω
jω
jω
i arg X (e jw )
相位谱4
2 | X (e jω ) |= [ X R (e jω ) + X I2 (e jω )]1/ 2
(ω) = arg X (e ) = arctg[ X I (e ) / X R (e )]jω jω jω
显然 的周期函数。 的周期函数。
X (e jω )、 (ω)都是
ω 的连续函数和周期为2 π 的连续函数和周期为2
2、序列傅里叶反变换1 π x(n) = FT [ X (e )] = X e jω e jωndω 2π ∫ π 1 jω
( )
表1.常用序列的傅立叶变换 1.常用序列的傅立叶变换
序δ (n)
列
傅 立 叶 变 换1e j ( N 1)ω / 2 sin( Nω / 2) / sin( ω / 2)k = ∞
RN (n)
1
∑2πδ(ω + 2kπ )+ 2kπ )
∞
e
jω0n∞
k = ∞
∑2πδ(ω ω0
∞
0
cos(ω0n)
k = ∞
∑π [δ (ω ω
+ 2kπ ) + δ (ω + ω0 + 2kπ )]6
典型例题例1求它的傅立叶变换。 已知 x(n) = R5 (n) ,求它的傅立叶变换。jω 4 jωn n=0
解： X (e ) = FT[x(n)] = ∑ e
1 e jω5 = 1 e jω
e jω5/ 2 (e jω5/ 2 e jω5/ 2 ) = jω / 2 e (e jω / 2 e jω / 2 ) si
n 5 / 2 ω = e j 2ω sin ω / 2) (
其幅度谱和相位谱分别为： 幅度谱和相位谱分别为： 分别为X (e jω ) =| sin 5ω / 2 sin 5ω / 2 | , (ω) = 2ω + arg[ ] sin( ω / 2) sin( ω / 2)
3、FT的性质 FT的 (1)周期性 其中M为整数 为整数， 由于 e jωn = e j (ω+2πM )n 其中 为整数，故有 ：
X (e jω ) =
n= ∞
x(n)e j (ω+2πM )n = X (e j (ω+2πM ) ) ∑
∞
可见 X (e jω ) 是 ω 的周期函数，周期为2 π 。 的周期函数，周期为2 (2)线性性
(3)序列的移位(时移) (3)序列的移位(时移) 序列的移位
(4)频域的移位(频移) (4)频域的移位(频移) 频域的移位
(5)序列的反转 (5)序列的反转
(6)序列的共轭 (6)序列的共轭
FT[x*(-n)]=X*(ejw)
(7)频域微分性 (7)频域微分性
对时域信号进 行线性加权对 应于频域的微 分
(8)时域卷积定理 (8)时域卷积定理
则Y (e ) = X (e )H(e )
jω
jω
jω
(9)频域卷积定理(序列相乘) (9)频域卷积定理(序列相乘) 频域卷积定理
1 jω jω 则Y (e ) = [ X (e ) H (e )] 2π π 1 j j (ω ) = ]d ∫ X (e )H[e 2π πjω
(10)Parseval定理 (10)Parseval定理
若FT[x(n)] = X (e ) 2 ∞ 1 则∑ x(n) = 2π n= ∞
jω
该定理表明： 该定理表明：信号在 时域中的能量等于频 域中的能量
∫π
π
X (e ) dωjω11
2
(11)序列的共轭对称性质 (11)序列的共轭对称性质 若序列 xe (n) 满足 xe (n) = xe ( n) ,则称 xe (n) 为共 轭对称序列； 轭对称序列； 若序列xo (n) 满足xo (n) = xo ( n) ,则称 xo (n) 为共 轭反对称序列。 轭反对称序列。
用它的实部和虚部来表示， xe (n) 用它的实部和虚部来表示，得：
xer (n) = xer ( n)
…… 此处隐藏1314字 ……
N1 ≥ 0, Rx < z ≤ ∞ N1 < 0, Rx < z < ∞ j Im[ z]
Roc为 Roc为:
N2 ≤ 0,0 ≤ z < Rx+ N2 > 0,0 < z < Rx+
0
Re[z]
收敛域
左边序列的收敛域21