特征方程法求递推数列

特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）设已知数列{an}的项满足a1 b,an 1 can d,其中c 0,c 1,求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x cx d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0 a1时，an为常数列，即

an a1;当x0 a1时,an bn x0，其中{bn}是以c为公比的等比数列，即

bn b1cn 1,b1 a1 x0.

证明：因为c 0,1,由特征方程得x0

bn 1

d

.作换元bn an x0,则 1 cdcd

an 1 x0 can d can c(an x0) cbn.

1 c1 c

当x0 a1时，b1 0，数列{bn}是以c为公比的等比数列，故bn b1cn 1; 当x0 a1时，b1 0，{bn}为0数列，故an a1,n N.（证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

13

13

解：作方程x x 2,则x0 .

32

311

当a1 4时，a1 x0,b1 a1 .

22

1

数列{bn}是以 为公比的等比数列.于是

3111133111

bn b1( )n 1 ( )n 1,an bn ( )n 1,n N.

…… 此处隐藏0字 ……

3232223

例1．已知数列{an}满足：an 1 an 2,n N,a1 4,求an.

二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式an 2 pan 1 qan，a1 ,a2 给出的数列 an ，方程x px q 0，叫做数列 an 的特征方程。

2

若x1,x2是特征方程的两个根，当x1 x2时，数列 an 的通项为an Ax1

n 1

n 1

，其中A， Bx2