名 师 辅 导 教学内容：船有触礁的危险吗

Ⅰ．背景材料 康熙喜欢数学有史为证

清康熙皇帝数学专著在西安被发现的消息引起了广大历史、数学爱好者的兴趣．据称在新发现的这本数学专著中，康熙除论述了如何解直角三角形外，还推出了自己“以积求勾股”的解法，他也成为中国历史上有据可考的惟一对数学问题提出解法的帝王．

史书还有记载，康熙皇帝在位时，经常请懂数学的外国人给他讲西洋数字，当时宫廷内聚集着许多数学家．在康熙的倡导下，由陈厚耀等人牵头，众多数学家编纂了一部清朝最著名的数学百科全书《数学精蕴》．在这本书上，有“钦定”两字，表明此书是康熙皇帝亲自确定编纂的．

在中国历史上，皇帝主动学习数学的就很少，而有著述者更是凤毛麟角，从迄今数学史研究的情况看，康熙是中国历代帝王中惟一留有数学著作的人．目前，北京图书馆藏有康熙时期所著的《三角形论》一书，书上标有“御纂”二字，表示康熙当时间亲自参与了这本书的编辑．此备受关注的康熙“钦授”著作，是迄今发现的第二部康熙数学著述．

你还知道康熙的其他学术成果吗？

Ⅱ．课前准备

一、课标要求

经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能进一步对结果的意义进行说明，提高数学应用意识和解决问题的能力．

二、预习提示

1．关键概念：方位角．

2．预习方法提示：利用解直角三角形及其他相关的知识解决有关测量、工程、航海等实际问题，其规律是把实际问题转化为“数学模型”，特别是数形结合，化未知为已知，提高学生建模能力．应用中要根据题意，准确画出图形，从图中确定要解的直角三角形，并正确选择表达式．在解答梯形问题时，从上底的两个端点向下底作垂线是常用的一种添加辅助线的方法．

三、预习效果反馈

1．海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向．如果渔船不改变航向，继续向东航行捕捞，有没有触礁的危险？

2．如图1-4-1，王聪同学拿一把∠ACB=30°的小型直角三角尺ABC目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A顺着30°的邻边AC的方向确定河对岸岸边的一棵树M，然后，沿30°角的对边AB的方向前进到点B′，顺着斜边B′C′的方向看见M，并测得AB′=60m，那么他目测的宽大约为多少？（精确到1m）

3.根据图1-4-2所示数据求∠α的大小．

Ⅲ．课堂跟讲

一、数材中“？”解答

1．问题（P21） 解答：货轮没有触礁危险．基本思路：首先分析题意，据题意画出示意图．经过A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD·tan55°，CD=AD·tan25°．∴AD·tan55°－AD·tan25°=20.这样AD≈20.79海里＞10海里，所以货轮没有触礁的危险．

二、重点难点易错点讲解

本节重点是应用解直角三角形解应用题，因为许多实际问题都离不开解直角三角形．难点是将实际问题转化为解直角三角形问题，正确选用直角三角形的边角关系．由于实际问题中常常没有直角三角形，因此怎样合理构造直角三角形才比较容易解决问题又是摆在初学者面前的难点，总的原则是在不破坏已知条件的前提下作垂线构造直角三角形，但有些特殊图形（如等腰三角形、梯形等）比较明确，希望同学们在学习中通过做题不断总结体会．

本节的易错点是概念不清，审题、分析题不认真，忽略条件，推理不严密，不善于把实际问题转化为解直角三角形问题．

【例1】 如图1-4-4，某岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=8°14′．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43.74m，当水位上升+2.63m时，求观察所A到船只B的水平距离BC．（精确到1m）

错解：Rt△ABC中，∵tan∠BAC=

BC，∴BC=AC·tan∠BAC． AC∵AC=43.74＋2.63=46.37，∠BAC=90°－α=81°46′， ∴BC=46.37×6.897≈320（m）．

…… 此处隐藏1099字 ……

点拨：不能准确地从实际问题中抽象出几何图形，是解这类问题时常出现的难点． （三）多题一法

【例3】 如图1-4-10，为了测量河流某一段的宽度，选了河北岸的一点A，河南岸相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACD=45°，求这段河的宽度．

思维入门指导：作AD将△ABC分割为两个具有公共边的直角三角形，然后列出方程解决几何问题．

解：过A作AD⊥BC于D，设AD=x米．

在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=x米．