2018届中考数学考点直角三角形与勾股定理

课标呈现 指引方向

1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

考点梳理 夯实基础 1．直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角； 【答案】互余

（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么； 【答案】a2＋b2＝c2

（3）直角三角形斜边上的中线等于； 【答案】斜边的一半

（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于． 【答案】斜边的一半 2．直角三角形的判定：

（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；

（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】一半

3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）?以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）?（n为正整数）

考点精析 专项突破

考点一 勾股定理和勾股定理的逆定理

【例1】（1）（2016临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．

【答案】6

解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．

（2）（2016武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，

BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD的长为___________

【答案】241

解题点拨：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在

Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝55，可知

△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD．则CH＝6，

DH＝8，从而在Rt△BHD中易求BD．

考点二 性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用 【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E．连接AC交DE于点F，点G为AF的中点．∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，

EC＝1．求DE的长．

解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD＝DG＝3．

鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB ∵点G为AF的中点， ∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA， ∴∠CGD＝2∠CAD， ∵∠ACD＝2∠ACB， ∴∠ACD＝∠CGD， ∴CD＝DG＝3， 在Rt △CED中，DE＝

考点三 性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用

【例4】(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA ，

CD2-CE2＝22．

PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．

【答案】2

解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．

课堂训练 当堂检测

1．(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )

…… 此处隐藏0字 ……

A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7

【答案】B

2．(2015滨州)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到Aⅱ那么滑动杆的中点C所经过的路径B处，是 ( )

A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

第2题 【答案】B

3．(2016黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝ ． 【答案】23a