2015秋微积分A（1）第八周习题课

一．函数的极限与连续（下）

例.1

例.2

例.3

例.4

例.5

例.6 设函数f(x)在 0, 上满足f(x2) f(x)，且lim f(x) limf(x) f(1)，求证：x 0x x a 已知极限lim x x 1 x 1 e 2，求常数a。 cos1 1x limxe e求极限 x 21 1 xx 1 求极限limx3 3 x 2若limx(cosx b) 5，则a =，b=. x 0e asinx求极限lim sinx x 0x 11 cosx

f(x) f(1),x (0, )。

例.7 设函数y f(x)在( , )上连续，且limf(x) 0存在，若y f(x)在 x

( , )内可取到正值，证明函数y f(x)在( , )上必有正的最大值。

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例.8 设f C( , )，且 x,y ,f(x y) f(x) f(y)，证明：存在实数a使

得f(x) ax,x 。

例.9 设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且

x y f(x) f(y)f , x,y (a,b)（*） 22

证明：f C(a,b)。