1 第23届全国中学生物理竞赛决赛试题

2006年11月

★理论试题

一、

建造一条能通向太空的天梯，是人们长期的梦想．当今在美国宇航局（NASA ）支持下，洛斯阿拉莫斯国家实验室的科学家已在进行这方面的研究．一种简单的设计是把天梯看作一条长度达千万层楼高的质量均匀分布的缆绳，它由一种高强度、很轻的纳米碳管制成，由传统的太空飞船运到太空上，然后慢慢垂到地球表面．最后达到这样的状态和位置：天梯本身呈直线状；其上端指向太空，下端刚与地面接触但与地面之间无相互作用；整个天梯相对于地球静止不动．如果只考虑地球对天梯的万有引力，试求此天梯的长度．已知地球半径R 0 =

6.37×106m ，地球表面处的重力加速度 g = 9.80 m ·s －2

．

二、

如图所示，一半径为R 的圆筒（图中2R 为其直径）位于水平地面上．筒放一矩形物．矩形物中的A 、B 是两根长度相等、质量皆为m 的细圆棍，它

们平行地固连在一质量可以不计的，长为l =3R 的矩形薄

片的两端．初始时矩形物位于水平位置且处于静止状态，A 、

B 皆与圆筒表面接触．已知A 、B 与圆筒表面间的静摩擦因

…… 此处隐藏0字 ……

数μ都等于1．

现令圆筒绕其中心轴线非常缓慢地转动，使A 逐渐升高．

1．矩形物转过多大角度后，它开始与圆筒之间不再能保

持相对静止？ 答：___________________________（只要求写出数值，不要求写出推导过程）

2．如果矩形物与圆筒之间刚不能保持相对静止时，立即令圆筒停止转动．令θ表示A 的中点和B 的中点的连线与竖直线之间的夹角，求此后θ等于多少度时，B 相对于圆筒开始滑动．（要求在卷面上写出必要的推导过程．最后用计算器对方程式进行数值求解，最终结果要求写出三位数字．）

l

A 2R