第2章
时域离散信号和系统的频域分析
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
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时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法 和变换域分析方法。
连续系统： 时域分析微分方程
傅利叶变换、拉氏变换
代数方程
离散系统： 时域分析
傅利叶变换、Z变换
差分方程
代数方程2/115
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序列的傅利叶变换 序列傅利叶变换的性质 序列的Z变换 不同形式序列的Z变换及其收敛域 Z逆变换 Z变换的性质 系统函数与频率特性
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§2.2
序列的傅利叶变换
2.2.1 序列的傅里叶变换的定义 众所周知，连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：
而F(jΩ)的傅里叶反变换定义为
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离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为：DTFT(2.2.1)
只有当序列x(n)绝对可和，即(2.2.2)
x(n)的傅里叶变换才存在且连续。 X(ejω)的傅里叶反变换定义为(2.2.4) 5/115
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在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱， ω为数字域频率。X(ejω)一般为复数，可用它的 实部(Real)和虚部(Imaginary)表示为：
或用幅度和相位表示为：
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设x(n)=anu(n),0<a<1,求x(n)的FT。X (ejω
)
n
a1
n
u ( n )e
jω n
( aen 0
jω
)
n
1 ae
jω
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离散时间信号的傅里 叶变换具有以下两个 特点：
(1)X(ejω)是以2π为周 期的ω的连续函数。 (2)当x(n)为实序列时， X(ejω)的幅值 |X(ejω)|在 0≤ω≤2π区间内是 偶对称函数，相位 arg[X(ejω)]是奇对称 函数。8/115
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2.2.2 序列傅利叶变换的性质
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当ω=0时，它是常数序列；随着ω的增加，信号 的震荡速率增加，直到ω=π时，达到离散时间 序列的最高振荡速率。当ω继续增加，其振荡速 率反而下降，直到ω=2π时，它又回到常数序列。
当ω等于2π的整数倍时，虚指数序列为常数序列， 在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在ω等 于π的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高 振荡频率，附近是高频序列。
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1. 傅利叶变换的周期性
e
j ( ω 2 kπ ) n
e
jω n
k 0 , 1, 2
角频率ω每改变2π及其整
数倍时都呈现同一个 虚指数序列。因此在研究虚指数序列时，只要在 ω的某个2π区间内考察即可。一般选这个区间 为-π<ω<π,或0<ω<2π,并称为离散时间频率 ω的主值区间。数字域频率和模拟域频率的关系? 数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率， 所以数字域频率并不是象模拟域频率越来越大。 13/115
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X (e )
j
n
x (n )e
j ( 2 M ) n
,
M为整数
(2.2.6)
序列傅列变换是以2π为周期的函数。 当ω=0,±2π,±4π… 点上表示x(n)的直流 分量，离开这些点越远，其频率越高； 当ω=(2M+1)π时，代表最高频率信号(见前面 的例子)。
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2. 序列的傅里叶变换的线性
(2.2.7)
3.时移与频移时间移位 = 频率相位偏移
(2.2.8) (2.2.9)
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4.时域卷积 设
则(2.2.32)
5.频域卷积定理设
则(2.2.33) 16/115
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6. 帕斯维尔(Parseval)定理n
2
x(n )
1 2
x(e
j
2
d
2
证明：
x(n )
n
n
x (n ) x (n ) *
n
x ( n )[
*
1 2
X (e
j
)e
j n
d )]
1 2 1 2
X (e
j
)
n j * j
x (n )e
j n
d 1 2
X (e
) X (e
)d
X (e
j
2
) d
说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。17/115
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7.序列的傅里叶变换的对称性 共轭对称序列：x e (n) x e ( n) xo ( n)
jy
共轭反对称序列： x o ( n )
x
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频域函数的对称性序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)可以被分解成共 轭对称分量与共轭反对称分量两部分之和，即
同样有：
若X(ejω)是实函数：且满足共轭对称，则称为频率的 偶函数；若满足共轭反对称，则称为频率的奇函数。21/115